10 coolste resultaten van de wiskunde

Veel mensen worden afgeschrikt door de obscure symbolen en strikte regels van wiskunde, waarbij ze een probleem opgeven zodra ze zowel cijfers als letters zien. Maar hoewel wiskunde soms zwaar en moeilijk is, zijn de resultaten die het kan bewijzen soms mooi, verbijsterend of gewoon onverwacht. Resultaten zoals:

10

De 4-kleuren stelling

De 4-kleuren stelling werd voor het eerst ontdekt in 1852 door een man genaamd Francis Guthrie, die op dat moment probeerde een kaart van alle graafschappen van Engeland in te kleuren (dit was voordat het internet werd uitgevonden, er was niet veel te zien do). Hij ontdekte iets interessants - hij had maar maximaal vier kleuren nodig om ervoor te zorgen dat geen provincies die een grens deelden hetzelfde waren gekleurd. Guthrie vroeg zich af of dit wel of niet waar was voor welke kaart dan ook, en de vraag werd een wiskundige nieuwsgierigheid die jarenlang onopgelost bleef.

In 1976 (meer dan een eeuw later) werd dit probleem uiteindelijk opgelost door Kenneth Appel en Wolfgang Haken. Het bewijs dat ze vonden was behoorlijk ingewikkeld en berustte gedeeltelijk op een computer, maar het stelt dat in elke politieke kaart (bijvoorbeeld van de staten) slechts vier kleuren nodig zijn om elke individuele staat te kleuren, zodat er nooit staten van dezelfde kleur zijn contact.

9

Brouwer's Fixed Point-stelling

Deze stelling komt uit een tak van wiskunde die bekend staat als Topologie en werd ontdekt door Luitzen Brouwer. Hoewel de technische expressie vrij abstract is, heeft deze veel fascinerende real-world implicaties. Laten we zeggen dat we een foto hebben (bijvoorbeeld de Mona Lisa) en we nemen er een kopie van. We kunnen dan doen wat we willen met deze kopie - het groter maken, kleiner maken, draaien, verfrommelen, alles. Brouwer's Fixed Point Theorem zegt dat als we dit exemplaar boven op onze originele foto plaatsen, er minstens één punt op de kopie moet zijn die precies boven hetzelfde punt op het origineel uitkomt. Het zou een deel van Mona's oog, oor of mogelijke glimlach kunnen zijn, maar het moet bestaan.

Dit werkt ook in drie dimensies: stel je voor dat we een glas water hebben, en we nemen een lepel en roeren het op zoveel we willen. Volgens de stelling van Brouwer zal er minstens één watermolecule zijn die zich precies op dezelfde plaats bevindt als voordat we begonnen te roeren.

8

Russell's Paradox

Foto credit: Lonpicman

Aan het begin van de 20e eeuw werden veel mensen in de ban van een nieuwe tak van wiskunde, Set Theory (die we verderop in deze lijst zullen bespreken). Kort gezegd is een set een verzameling objecten. Het denken van de tijd was dat alles in een set kon worden veranderd: de set van alle soorten fruit en de set van alle Amerikaanse presidenten waren allebei volledig geldig. Bovendien, en dit is belangrijk, kunnen sets andere sets bevatten (zoals de verzameling van alle sets in de vorige zin). In 1901 maakte de beroemde wiskundige Bertrand Russell een behoorlijke vaart toen hij zich realiseerde dat deze manier van denken een fatale fout had: er kon namelijk niets in een set worden gemaakt.

Russell besloot om meta over dingen te vertellen en beschreef een set met al die sets die zichzelf niet bevatten. De verzameling fruit zit er niet in (de jury is nog niet overtuigd of het tomaten bevat), dus het kan samen met vele anderen in de set van Russell worden opgenomen. Maar hoe zit het met Russell's zelf? Het bevat zichzelf niet, dus het zou zeker ook moeten worden opgenomen. Maar wacht ... nu bevat het zichzelf, dus natuurlijk moeten we het eruit halen. Maar nu moeten we het terugzetten ... en zo verder. Deze logische paradox zorgde voor een volledige hervorming van de Set Theory, een van de belangrijkste takken van wiskunde van vandaag.

7

De stelling van Fermat

Denk aan de stelling van Pythagoras van school? Het heeft te maken met rechthoekige driehoeken en zegt dat de som van de vierkanten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde (x-kwadraat + y-kwadraat = z-kwadraat). De beroemdste stelling van Pierre de Fermat is dat deze zelfde vergelijking niet waar is als je het kwadraat vervangt door een getal groter dan 2 (je zou bijvoorbeeld niet zeggen x cubed + y cubed = z cubed), zolang x, y, en z zijn positieve hele getallen.

Zoals Fermat zelf schreef: "Ik heb een echt prachtig bewijs hiervan ontdekt, waarvan deze marge te smal is om te beheersen." Dat is echt jammer, want hoewel Fermat dit probleem in 1637 stelde, bleef het een hele tijd onbewezen. En tegen een tijdje, bedoel ik dat het in 1995 (358 jaar later) werd bewezen door een man genaamd Andrew Wiles.

6

The Doomsday Argument

Het is een goede veronderstelling dat de meeste lezers van dit artikel mensen zijn. Als mens is deze inzending bijzonder ontnuchterend: wiskunde kan worden gebruikt om te bepalen wanneer onze soort zal uitsterven. Waarschijnlijk echter gebruik maken van de kans.

Het argument (dat al ongeveer 30 jaar bestaat en een paar keer is ontdekt en herontdekt) zegt in feite dat de tijd van de mensheid bijna op is. Eén versie van het argument (toegeschreven aan astrofysicus J. Richard Gott) is verrassend eenvoudig: als men de volledige levensduur van de menselijke soort beschouwt als een tijdlijn van geboorte tot dood, dan kunnen we bepalen waar we op die tijdlijn nu staan.

Omdat op dit moment slechts een willekeurig punt in ons bestaan ​​als soort is, kunnen we met 95% nauwkeurigheid zeggen dat we ergens in de middelste 95% van de tijdlijn zitten. Als we nu zeggen dat we precies 2,5% in het menselijk bestaan ​​zijn, krijgen we de langste levensverwachting. Als we zeggen dat we 97,5% in het menselijk bestaan ​​zijn, geeft dat ons de kortste levensverwachting. Dit stelt ons in staat om een ​​bereik van de verwachte levensduur van de mensheid te krijgen. Volgens Gott is er een kans van 95% dat mensen ergens tussen 5100 jaar en 7,8 miljoen jaar zullen uitsterven. Dus alsjeblieft, de mensheid - ga maar op die bucketlist.

5

Niet-euclidische meetkunde

Nog een klein beetje wiskunde dat je je misschien van school herinnert, is geometrie, dat is het deel van wiskunde waar het doodling in je aantekeningen het punt was. De geometrie die de meesten van ons kennen, is de Euclidische meetkunde en is gebaseerd op vijf vrij eenvoudige, vanzelfsprekende waarheden of axioma's. Het is de regelmatige geometrie van lijnen en punten die we op een schoolbord kunnen tekenen en lange tijd werd dit beschouwd als de enige manier waarop geometrie kon werken.

Het probleem is echter dat de vanzelfsprekende waarheden die Euclid 2000 jaar geleden schetste niet zo voor iedereen vanzelfsprekend waren. Er was één axioma (bekend als het parallelle postulaat) dat nooit goed zat bij wiskundigen, en eeuwenlang probeerden veel mensen het te verzoenen met de andere axioma's. Aan het begin van de 18e eeuw werd een gewaagde nieuwe benadering geprobeerd: het vijfde axioma werd eenvoudigweg veranderd in iets anders. In plaats van het hele systeem van geometrie te vernietigen, werd er een nieuwe ontdekt die nu de hyperbolische (of Bolyai-Lobachevskiaanse) geometrie wordt genoemd. Dit veroorzaakte een complete paradigmaverschuiving in de wetenschappelijke gemeenschap en opende de poorten voor veel verschillende soorten niet-euclidische meetkunde. Een van de meer prominente typen is de Riemann-meetkunde, die wordt gebruikt om niemand minder dan Einstein's Relativiteitstheorie te beschrijven (ons universum, interessant genoeg, houdt zich niet aan de Euclidische meetkunde!).

4

Euler's Formula

Euler's Formula is een van de krachtigste resultaten op deze lijst, en het is te danken aan een van de meest productieve wiskundigen die ooit heeft geleefd, Leonhard Euler. Hij publiceerde zijn leven lang meer dan 800 kranten - velen blinden.

Zijn resultaat ziet er op het eerste gezicht vrij eenvoudig uit: e ^ (i * pi) + 1 = 0. Voor degenen die niet weten, zowel e als pi zijn wiskundige constanten die op allerlei onverwachte plaatsen naar voren komen, en ik staat voor de imaginaire eenheid, een getal dat gelijk is aan de vierkantswortel van -1. Het opmerkelijke aan de Euler's Formula is hoe het erin slaagt om vijf van de belangrijkste getallen in alle wiskunde (e, i, pi, 0 en 1) te combineren tot een dergelijke elegante vergelijking. Het is door natuurkundige Richard Feynman "de meest opmerkelijke formule in de wiskunde" genoemd, en het belang ervan ligt in het vermogen om meerdere aspecten van wiskunde te verenigen.

3

De universele machine van Turing

We leven in een wereld die wordt gedomineerd door computers. Je leest deze lijst nu op een computer! Vanzelfsprekend zijn computers een van de belangrijkste uitvindingen van de 20e eeuw, maar het zou je kunnen verbazen als je weet dat computers in hun kern beginnen op het gebied van de theoretische wiskunde.

Wiskundige (en ook WW2-code-breaker) Alan Turing ontwikkelde een theoretisch object, een Turing Machine. Een Turing Machine is als een heel eenvoudige computer: hij gebruikt een oneindige reeks van tape en 3 symbolen (zeg 0, 1 en blanco) en werkt dan met een reeks instructies. Aanwijzingen kunnen zijn om een ​​0 in een 1 te veranderen en een spatie naar links te verplaatsen, of om een ​​spatie in te vullen en een spatie naar rechts te verplaatsen (bijvoorbeeld). Op deze manier kan een Turing Machine worden gebruikt om elke goed gedefinieerde functie uit te voeren.

Turing ging toen verder met het beschrijven van een universele machine, een Turing Machine die elke Turing Machine met elke invoer kan imiteren. Dit is in wezen het concept van een computer met opgeslagen programma's. Met behulp van niets dan wiskunde en logica creëerde Turing jaren geleden het vakgebied van de informatica, zelfs al was het zelfs mogelijk om een ​​echte computer te ontwikkelen.

2

Verschillende niveaus van oneindigheid

Infinity is al een vrij moeilijk concept om te begrijpen. Mensen werden niet gemaakt om het oneindige te begrijpen, en om die reden is Infinity altijd met voorzichtigheid behandeld door wiskundigen. Pas in de tweede helft van de 19e eeuw ontwikkelde Georg Cantor de tak van de wiskunde die bekend staat als de verzamelingenleer (onthoud Russell's paradox?), Een theorie die hem in staat stelde om na te denken over de ware aard van de oneindigheid. En wat hij vond was echt verbijsterend.

Het blijkt dat wanneer we ons oneindig voorstellen, er altijd een ander type oneindigheid is dat groter is dan dat. Het laagste niveau van oneindig is het aantal hele getallen (1,2,3 ...) en het is een telbare oneindigheid. Met een zeer elegante redenering stelde Cantor vast dat er daarna nog een niveau van oneindigheid is, de oneindigheid van alle echte getallen (1, 1.001, 4.1516 ... eigenlijk elk getal dat je maar kunt bedenken). Dat type oneindigheid is ontelbaar, wat betekent dat zelfs als je alle tijd in het universum zou hebben, je nooit alle echte getallen zou kunnen opsommen zonder iets te missen. Maar wacht, het blijkt dat er daarna nog meer niveaus van ontelbare oneindigheid zijn. Hoeveel? Een oneindig aantal, natuurlijk.

1

Gödel's onvolledigheidstheorems

In 1931 bewees de Oostenrijkse wiskundige Kurt Gödel twee stellingen die de wiskundewereld tot in de kern deden schudden, want samen toonden ze iets heel ontmoedigend: wiskunde is niet, en zal nooit voltooid zijn.

Zonder in te gaan op de technische details, toonde Gödel dat in elk formeel systeem (zoals een systeem van de natuurlijke getallen), er bepaalde waarachtige uitspraken zijn over het systeem die niet door het systeem zelf kunnen worden bewezen. Fundamenteel toonde hij aan dat het onmogelijk is voor een axiomatisch systeem om volledig onafhankelijk te zijn, wat tegen alle voorgaande wiskundige veronderstellingen inging. Er zal nooit een gesloten systeem zijn dat alle alleen voor wiskunde geschikte systemen bevat die groter en groter worden als we ze tevergeefs proberen te voltooien.