Top 10 onkenbare dingen

Er zijn veel dingen die we niet weten; persoonlijk ben ik een ware hoorn des overvloeds van onwetendheid. Maar er is een verschil tussen dingen die we niet kennen en dingen die niet bekend kunnen zijn. Niemand weet bijvoorbeeld wanneer Shakespeare werd geboren (hoewel we wel weten wanneer hij werd gedoopt). Het is echter niet onmogelijk dat we dit in de toekomst zouden kunnen ontdekken - er kan een lang verloren document worden gevonden dat melding maakt van zijn geboorte, dus de echte geboortedatum van Shakespeare is niet onkenbaar, gewoon onbekend. Deze lijst bevat 10 dingen die in principe onkenbaar zijn. Niet alleen zijn ze nu onbekend, ze kunnen nooit bekend worden.

De meeste hiervan zijn wiskundig; Ik heb geprobeerd het zo ontechnisch mogelijk te maken - afgezien van al het andere ben ik geen wiskundige dus ik heb geprobeerd het zo dom te maken dat ik het kan begrijpen.

10

Sets en meer sets

Onkenbaar ding: wat zit er in een set sets die zichzelf niet bevatten?

We moeten een beetje wiskunde doen voor een aantal van deze items! Dit is de eerste op de lijst omdat in zekere zin het concept van het 'onkenbare' begint met deze paradox die Bertrand Russell in 1901 ontdekte.

Laten we beginnen met het idee van een set. Een set is een verzameling objecten - u kunt bijvoorbeeld de reeks positieve even nummers hebben die 2, 4, 6, 8 ... bevat of de reeks priemgetallen die 2, 3, 5, 7, 11 bevatten ... tot nu toe goed.

Kunnen sets andere sets bevatten? Ja, geen probleem - je zou een set sets kunnen hebben die andere sets bevatten - en die set zou zichzelf uiteraard bevatten. In feite kunt u sets in twee typen splitsen: die welke zichzelf bevatten en diegene die dat niet doen.

Overweeg dus een set (S, zeg) van sets die zichzelf niet bevatten. Bevat S zichzelf? Als dat zo is, zou het niet in de set moeten zitten, maar als dat niet het geval is, dan zou het moeten. Dus S springt voortdurend in en uit zichzelf.

Deze paradox veroorzaakte nogal wat consternatie onder wiskundigen. Stel je voor dat iemand bewijst dat een getal tegelijkertijd even en vreemd kan zijn, het is evenzeer zorgelijk voor dat. Er zijn manieren gevonden om de paradox heen - in essentie door het herdefiniëren van de verzamelingenleer.

9

Graham's nummer

Er is gezegd dat het probleem met de perceptie van mensen van het universum is dat onze hersenen alleen gewend zijn om met kleine aantallen, korte afstanden en korte perioden om te gaan. Het nummer van Graham is groot genoeg om de hersens van de meeste mensen te laten stomen; het is echt groot; om het in context te plaatsen, laten we eens kijken naar enkele, zogenaamde, grote getallen:

De meeste mensen hebben gehoord van een googol - voor de meeste doeleinden is het een groot aantal - 10 ^ 100, wat 1 is gevolgd door 100 nullen.

Er zijn echter veel grotere aantallen; een googolplex is 1 gevolgd door een googol-nullen en de wiskundige Stanley Skewes heeft gedefinieerde getallen die veel groter zijn dan een googolplex.

Om deze in context te plaatsen, is de kleinste van hen (de googol) nog steeds veel groter dan het aantal deeltjes in het universum (rond de 10 ^ 87).

Grahams nummer klopt deze 'peuters' echter uit de grond - het werd gebruikt door Ronald Graham in zijn (voor mij) onbegrijpelijke werk aan multidimensionale hypercubes (het is de bovengrens voor een van de oplossingen). Het volstaat om te zeggen dat het veel groter is dan de cijfers van Skewes en dat het universum zelfs niet groot genoeg is om de gedrukte versie op te slaan. Zelfs als elk cijfer zo groot was als een elektron. Niet eens in de buurt.

Het echt geweldige aan Grahams nummer is dat het mogelijk is om de laatste paar cijfers te berekenen en we weten dat het eindigt in een 7.

8

Kleinste geheel getal

Onkenbaar ding: Wat is het kleinste positieve gehele getal niet definieerbaar in minder dan elf woorden?

Dit is een probleem in de filosofie van de wiskunde. Gewoon om dingen een beetje duidelijker te maken - een geheel getal is een geheel getal (1, 2, 3 enz.), En voor kleinere gehele getallen, is het eenvoudig om ze in woorden te definiëren:

"Het vierkant van 2" = 4
"Eén meer dan 4" = 5

… enzovoorts. Als een gedachte-experiment - bedenk hoeveel elf woordvonnissen er zijn - natuurlijk zijn er veel; maar er is slechts een eindig aantal woorden (ongeveer 750.000 in het Engels), dus er is slechts een eindig aantal van elf woordzinnen - op een gegeven moment zou je opraken en zou er een geheel getal zijn dat je niet zou kunnen definiëren. Behalve: "Het kleinste positieve gehele getal niet definieerbaar in minder dan elf woorden" bevat slechts tien woorden, dus u kunt het in minder dan elf woorden definiëren.

Dit wordt Berry's paradox genoemd en in feite is het een soort 'goochelarij' met taal - we gaan subtiel over van het benoemen van nummers naar het beschrijven ervan, maar toch kan niemand dat aantal verzinnen!

7

Software

Onkenbaar ding: zal een computerprogramma ooit stoppen?

Toen ik op school zat met Pure Mathematics-lessen, was het een veel gehoorde klacht dat wat we leerden "nutteloos" was. Helaas antwoordde de leraar eenvoudig: "je leert dit omdat het in de syllabus staat." Het probleem van Turing-stoppen als een klasse-A nutteloos, volledig academisch, verspilling van tijd. Behalve dat dit heeft geleid tot de ontwikkeling van digitale computers.

Alan Turing was een Engelse wiskundige en een wonderkind, vooral in de wiskunde. Zijn werk op computermachines was in eerste instantie volledig theoretisch; hij werkte aan het idee om wiskundige statements volledig numeriek te beschrijven, zodat ze konden worden verwerkt door een theoretische rekenmachine. Hij bedacht het concept van een computermachine voor algemene doeleinden (nu Turing Machine genoemd) als een gedachte-experiment - hij had niet verwacht dat iemand er een zou bouwen.

Hij redeneerde dat een computerprogramma voor altijd moet worden uitgevoerd of moet stoppen.Hij bewees dat het onmogelijk is om automatisch te bepalen wat er zal gebeuren - ik weet dat je zou kunnen beweren dat je "het programma kunt uitvoeren en zien wat er gebeurt" - maar stel dat het pas na 7 biljoen jaar stopt?

Iets meer over Turing: zijn redenering is bijzonder opmerkelijk omdat hij het deed in 1936 - jaren voordat de eerste digitale computer werd gebouwd. De Tweede Wereldoorlog begon in 1939, maar Turing werkte al een jaar eerder aan het breken van code bij Bletchley Park; proberen de Duitse Enigma-code te ontcijferen. Het was duidelijk dat een "manuele" benadering te traag was en Turing de eerste decoderingsmachine (een zogenaamde Bombe genoemd) specificeerde, dit leidde tot Colossus - misschien wel de eerste programmeerbare, digitale computer die automatisch door vele mogelijke "sleutels kon lopen". Zijn werk was zo belangrijk voor decodering dat dit lang geheim bleef nadat de oorlog was geëindigd; sommigen werden pas dit jaar gepubliceerd - 60 jaar nadat het geschreven was.

6

Berekent niet

Onkenbaar ding: er zijn cijfers die niet kunnen worden berekend.

Dit is een ander breinbuiger bewezen door Alan Turing. Om te beginnen is er meer dan één 'oneindigheid'. Hoeveel positieve, hele getallen zijn er bijvoorbeeld? Waarom, er zijn oneindigheid - ze houden nooit op. Hoeveel positieve, even nummers zijn er? Hetzelfde - als je een positief, heel getal verdubbelt, krijg je een overeenkomstig even getal, dus er moet hetzelfde nummer zijn.

Oké, hoeveel echte cijfers zijn er? Echte getallen omvatten alle breuken, irrationele getallen (zoals pi) en hele getallen (positief of negatief). Welnu, er zijn veel meer dan er hele getallen zijn - tussen elk geheel getal zijn er een oneindig aantal reële getallen; dus het aantal reële getallen is een veel grotere oneindigheid dan het aantal hele getallen.

Met dit concept stevig op zijn plaats; je kunt redeneren:

Stel dat je begint met het schrijven van computerprogramma's om echte getallen te genereren, één voor elk reëel getal.

Je telt elk programma; de eerste is "1", de tweede, "2" enzovoort - terwijl je aan het tellen bent, gebruik je de positieve, hele getallen.

Het probleem is dat, hoewel je gelukkig bent om een ​​oneindig aantal programma's te schrijven, die oneindigheid veel kleiner is dan het oneindige aantal echte getallen, dus er moeten veel (in feite, de meeste) echte getallen ontbreken - dat kan niet berekend.

5

Waar of niet waar?

Onkenbaar ding: in de wiskunde zijn er waarachtige dingen die niet bewezen kunnen worden - en we weten niet wat ze zijn.

Deze hersenkraakte stelling werd ontwikkeld door Kurt Gödel. Het concept dateert uit 1900 toen David Gilbert 23 "problemen" in de wiskunde voorstelde die hij graag in de aankomende eeuw opgelost zou zien. Een probleem was om te bewijzen dat de wiskunde consistent was - wat heel leuk zou zijn om te weten. Echter, in 1901 blies Gödel dat uit het water met zijn onvolledigheidsstelling - ik zal hier niet de stelling in detail bespreken, deels omdat ik het volledige detail niet begrijp, maar vooral omdat het me drie afzonderlijke lezingen kostte voordat Ik voelde zelfs dat ik er aan kwam, dus als je geïnteresseerd bent: Wikipedia is je vriend!

Samenvattend laat de stelling zien dat je wiskunde niet consistent kunt bewijzen met alleen wiskunde (je zou een "meta-taal" moeten gebruiken). Bovendien toonde hij ook dat er echte dingen in de wiskunde zijn die niet bewezen kunnen worden.

Toen ik de stelling leerde, werd gesuggereerd dat de beroemde stelling van de beroemde Fermat zoiets 'waars is waarvan niet kan worden bewezen dat ze waar is', maar dat werd als voorbeeld verwend toen Andrew Wiles het bewees in 1995. Maar hier zijn een paar dingen die waar kunnen zijn, maar niet bewijsbaar:

"Er is geen vreemd perfect getal."

Een perfect getal is een positief, geheel getal waarvan de delers bij elkaar optellen. 6 is bijvoorbeeld een perfect getal - 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6.

28 is het volgende perfecte getal. Perfecte getallen komen zelden voor en tot nu toe zijn er slechts 41 perfecte getallen gevonden. Niemand weet hoeveel er zijn - maar het is tussen 41 en oneindig!

Tot dusverre zijn alle perfecte cijfers gelijk gebleven, maar nogmaals, niemand weet of er nog een vreemde te vinden is, maar als die er is, is het een heel groot aantal; groter dan 10 ^ 1500 - (1 met 1500 nullen erna).

"Elk even getal is de som van twee prime-lenzen."

Een priemgetal is alleen op zichzelf of 1 deelbaar en het is een merkwaardig feit dat, tot nu toe, elk even getal dat is getest de som is van twee van hen - bijvoorbeeld: 8 = 5 + 3 of 82 = 51 + 31. Opnieuw , het is bekend dat het waar is voor veel getallen (tot ongeveer 10 ^ 17) en het is ook bekend dat hoe hoger een getal is, hoe groter de kans dat het een priemgetal is, dus het lijkt waarschijnlijker dat je hoger komt, maar wie zal zeggen dat er geen echt groot even getal is waar het niet waar is?

4

Wat is de waarheid, man?

Nog steeds in de wereld van de bewijsbaarheid, we komen tot de ondefinieerbaarheidstelling van Tarksi, maar om te prikkelen, dit is iets op de achtergrond van Tarksi.

Hij was de zoon van Joodse ouders die in het vooroorlogse Polen waren geboren, en hij had veel geluk. Hij werd Alfred Teitelbaum geboren in 1901. Er was wijdverspreid antisemitisme in het vooroorlogse Polen en in 1923 veranderden Alfred en zijn broer hun achternaam in "Tarski" - een naam die ze verzonnen omdat het "meer Pools klonk". Ze veranderden ook hun religie van Joods tot Rooms-katholiek - hoewel Alfred eigenlijk een atheïst was.

Aan het eind van de jaren dertig solliciteerde Tarski naar verschillende hoogleraren in Polen, maar werd afgewezen - gelukkig, zoals later bleek. In 1939 werd hij uitgenodigd om een ​​conferentie in Amerika aan te vatten die hij waarschijnlijk niet zou hebben bijgewoond als hij onlangs een hoogleraarschap had aanvaard.Tarski ving het laatste schip om Polen te verlaten voor de Duitse invasie de volgende maand. Hij had niet gedacht dat hij "ontsnapte" uit Polen - hij liet zijn kinderen achter met de gedachte dat hij snel terug zou komen. Zijn kinderen overleefden de oorlog en ze werden herenigd in 1946, hoewel de meeste van zijn uitgebreide familie werden gedood door de Duitse bezetter.

Terug naar de stelling: Tarski bewees dat de rekenkundige waarheid niet in de rekenkunde kan worden gedefinieerd. Hij heeft dit ook uitgebreid tot elk formeel systeem; "Waarheid" voor dat systeem kan niet binnen het systeem worden gedefinieerd.

Het is mogelijk om de waarheid voor één systeem in een sterker systeem te definiëren; maar natuurlijk kun je de waarheid niet definiëren in dat sterkere systeem, je zou moeten doorstromen naar een nog sterker systeem - en zo verder, voor onbepaalde tijd op zoek naar de onbereikbare waarheid.

3

Particle Bijzonderheden

Onkenbaar ding: waar is dat deeltje en hoe snel gaat het?

We verlaten de pijnlijkste wereld van de wiskunde, maar helaas komen we in de nog meer cortex-boggling wereld van de kwantumfysica. Het onzekerheidsbeginsel ontstond bij het bestuderen van subatomaire deeltjes en veranderde hoe we het universum bekijken. Toen ik op school zat, werd ons geleerd dat een atoom leek op een mini-zonnestelsel met een zonachtige kern in het midden met ronddraaiende elektronen en de elektronen als kleine knikkers.

Dat is zo verkeerd - en een van de belangrijkste ontdekkingen tijdens de manier om dat te laten zien, was het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg. Werner Heisenberg was een Duitse theoretisch fysicus die nauw samenwerkte met de Deense natuurkundige Niels Bohr in de jaren 1920. De redenering van Heisenberg gaat als volgt:

Hoe kom ik te weten waar een deeltje is? Ik moet ernaar kijken en om ernaar te kijken moet ik het verlichten. Om het te verlichten, moet ik fotonen erop afvuren, wanneer een foton het deeltje raakt, zal het deeltje door de fotonen worden bewogen - dus door te proberen de positie te meten, verander ik de positie ervan.

Technisch gezien zegt het principe dat je de positie en het momentum van een deeltje niet tegelijkertijd kunt kennen. Dit is vergelijkbaar, maar niet hetzelfde als het "waarnemer" -effect bij experimenten waarbij er enkele experimenten zijn waarvan de resultaten veranderen afhankelijk van hoe ze worden waargenomen. Het onzekerheidsbeginsel is gebaseerd op veel vastere mathematische grondslagen en, zoals ik al zei, veranderde de manier waarop het universum wordt bekeken (of hoe het universum van de zeer kleine wordt bekeken). Elektronen worden nu gezien als waarschijnlijkheidsfuncties in plaats van deeltjes; we kunnen berekenen waar ze waarschijnlijk zijn, maar niet waar ze zijn - ze kunnen eigenlijk overal zijn.

Het onzekerheidsbeginsel was vrij controversieel toen het werd aangekondigd; Einstein zei op beroemde wijze dat "God niet dobbelt met het universum", en het was rond deze tijd dat de splitsing in de fysica die de kwantummechanica scheidde - die de zeer kleine en de macro-fysica bestudeert die grotere objecten en krachten bestudeert, begon. Die splitsing moet nog worden opgelost.

2

Chaitin's Constant

De constante van Chaitin is een voorbeeld van wat normaal en verstandig lijkt voor een wiskundige, maar gek klinkt voor de rest van ons. Chaitin's constante is de kans dat een willekeurig computerprogramma stopt. Wat er gek van is (eigenlijk, een van de weinige dingen), is dat er een andere constante is voor elk programma, dus er is een oneindig aantal waarden voor deze "constante" - die meestal wordt weergegeven als een Griekse omega (Ω) . Het andere enigszins gekke eraan is dat het niet mogelijk is om te bepalen wat Ω is - het is een onaanvaardbaar getal, wat echt zonde is - als we Ω konden berekenen, dan is aangetoond dat de meeste onbewezen problemen in de wiskunde daadwerkelijk kunnen worden bewezen ( of weerlegd).

1

Onbekende Unknowables

Tot dusverre hebben we dingen waarvan we weten dat ze onkenbaar zijn (als dat logisch is) beschreven. Het laatste item beschrijft echter dingen die waar kunnen zijn, maar die niet bekend kunnen zijn. Je zou denken dat ik moeite zou hebben om een ​​voorbeeld te vinden, maar denk aan het volgende:

We leven in een zich uitbreidend universum; wanneer we naar andere sterrenstelsels kijken, gaan ze van ons weg en versnellen ze. Nu, in een verre toekomst (ongeveer 2 triljoen jaar vanaf nu) zullen alle andere sterrenstelsels zo ver weg zijn dat ze niet waarneembaar zijn (technisch gezien zullen ze zo snel bewegen dat het licht wordt uitgerekt tot gammastraling met golflengten langer dan het universum breed is). Dus, als je een astronoom was in 2 triljoen jaar, zou je niet kunnen weten dat er miljarden andere sterrenstelsels in het universum zijn - en als iemand het zou suggereren, zou je spottend lachen en zeggen "laat me het bewijs zien; jij hebt niets."

Dus, met dit in gedachten, kom terug tot het heden - er kunnen ware dingen over het universum zijn die we nooit kunnen weten. Slok!

+

Saai…

Onkenbaar ding: zijn er oninteressante mensen?

Het is vrij eenvoudig om te beweren dat er geen oninteressante mensen zijn:

Overweeg een lijst met oninteressante mensen te maken; een van die mensen zal de jongste zijn - en als de jongste oninteressante persoon is zelf interessant - moeten ze dus van de lijst worden verwijderd. Nu is er een nieuwe jongste oninteressante persoon en deze kan ook van de lijst worden verwijderd, enzovoort - totdat de lijst leeg moet zijn. Dus, als je iemand tegenkomt waarvan je denkt dat het oninteressant is, moet je het verkeerd hebben.