Delen:
Top 10 fascinerende feiten over het getal Pi
Het meest bekende feit over pi - normaal gesproken afgerond op 3,14159 - is dat het de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter weergeeft. Pi is ook een irrationeel getal, dus het is niet in staat om als een eenvoudige breuk te worden geschreven. Daarom is pi een oneindig lang, niet-herhalend decimaal, waardoor het een van de meest interessante en mysterieuze cijfers is die de mens kent.
10 Eerste berekening
De eerste berekening van pi wordt verondersteld te zijn verkregen door Archimedes van Syracuse rond 220 voor Christus. Archimedes leidde de formule A = pi af door het gebied van een cirkel te benaderen op basis van het gebied van een regelmatige veelhoek dat in de cirkel is ingeschreven, en het gebied van een veelhoek waarbinnen de cirkel was omschreven. De twee polygonen leverden daarom de bovenste en onderste grenzen voor het gebied van een cirkel, zodat Archimedes kon vaststellen dat het ontbrekende stuk van de puzzel (pi) ergens tussen 3 1/7 en 3 10/71 lag.
De prominente Chinese wiskundige en astronoom Zu Chongzi (429-501) berekende later dat pi 355/113 was, hoewel precies hoe hij in staat was om deze ongelooflijk precieze meting te bereiken, een mysterie blijft, omdat er geen verslagen van zijn werk zijn.
9A Het ware gebied van een cirkel is onkenbaar
Johann Heinrich Lambert in de 18e eeuw, bewees dat pi irrationeel is - het kan niet worden uitgedrukt als een integer-gebaseerde breuk. Rationele getallen kunnen altijd worden geschreven als een breuk, waarbij zowel de teller als de noemer hele getallen zijn. Hoewel het verleidelijk kan zijn om pi te bekijken als een eenvoudige verhouding van omtrek / diameter (pi = C / D), zal het altijd het geval zijn dat als de diameter een geheel getal is, de omtrek geen geheel getal is en omgekeerd.
De irrationaliteit van pi betekent dat we de omtrek (en vervolgens het gebied) van een cirkel nooit echt kunnen kennen. Dit frustrerende maar ogenschijnlijk onvermijdelijke feit heeft ertoe geleid dat sommige wiskundigen erop hebben aangedrongen dat het nauwkeuriger is om een cirkel te beschouwen als een oneindig aantal kleine hoekjes, in plaats van een cirkel als 'glad' te beschouwen.
8Buffon's naald
Voor het eerst onder de aandacht gebracht van meetkundigen en wiskundigen in 1777, Buffon's naald is een van de oudste en meest intrigerende problemen op het gebied van geometrische waarschijnlijkheid. Dit is hoe het werkt.
Als u een naald van een stuk lengte op een vel papier legt met lijnen gescheiden door dezelfde lengte van een stuk, is de kans dat de naald een van de lijnen op de pagina overschrijdt, rechtstreeks gerelateerd aan de waarde van pi.
Er zijn twee variabelen betrokken bij de naaldval: 1) de hoek waaronder de naald valt, en 2) de afstand van het midden van de naald tot de dichtstbijzijnde lijn. De hoek kan variëren van 0 tot 180 graden en wordt gemeten tegen een lijn evenwijdig aan de lijnen op het papier.
Het blijkt dat de kans dat de naald landt zodat deze een lijn snijdt exact 2 / pi is, of ongeveer 64 procent. Dit betekent dat pi theoretisch berekend kan worden met behulp van deze techniek als iemand voldoende geduld heeft om voldoende onderzoeken door te nemen, ook al lijkt het experiment niets te maken te hebben met cirkels, of zelfs afgeronde hoeken.
Dit is misschien een beetje moeilijk in te zien, dus experimenteer hier zelf met het fenomeen.
7Pi en het lintprobleem
Stel je voor dat je een lint neemt en het om de aarde wikkelt. (Laten we voor het gemak aannemen dat de aarde een perfecte bol is met een omtrek van 24.900 mijl.) Probeer nu de benodigde lengte van een lint te bepalen dat de aarde op een afstand van één inch boven het oppervlak zou kunnen omringen. Als je instinctief denkt dat het tweede lint aanzienlijk langer zou moeten zijn dan het eerste, zou je niet alleen zijn. Je zou echter ongelijk hebben. In feite zou het tweede lint alleen in lengte toenemen met 2pi, of ongeveer 6,28 inch.
Dit is hoe deze kop-scratcher het begeeft: nogmaals, ervan uitgaande dat de aarde een perfecte bol is, kan het worden beschouwd als een gigantische cirkel met een omtrek van 24.900 mijlen op de evenaar. Dit betekent dat de straal 24.900 / 2pi of ongeveer 3.963 mijlen zou zijn. Het toegevoegde tweede lint dat een centimeter boven het aardoppervlak zweeft, zou een straal hebben die een centimeter langer is dan die van de aarde, wat leidt tot de vergelijking C = 2 Pi (r + 1), wat gelijk is aan C = 2 Pi (r ) + 2 Pi. Hieruit kunnen we afleiden dat de omtrek van het tweede lint met 2pi zal toenemen. In feite maakt het niet uit wat de oorspronkelijke straal is (of het nu de aarde of een basketbal is), het vergroten van een straal van één inch zal altijd leiden tot een toename van 2pi (slechts 6,28 inch) in omtrek.
6Navigation
Pi speelt een prominente rol in navigatie, vooral als het gaat om grootschalige wereldwijde positionering. Omdat mensen vrij klein zijn in vergelijking met de aarde, denken we dat reizen lineair is. Wanneer vliegtuigen vliegen, vliegen ze natuurlijk op een boog van een cirkel. De vliegbaan moet daarom als zodanig worden berekend om de reistijd, het brandstofverbruik, enz. Nauwkeurig te kunnen meten. Als u zich op aarde op een GPS-apparaat bevindt, moet pi in deze berekeningen een belangrijke rol spelen.
Dus hoe zit het met navigatie die nog nauwkeurigere precisie vereist over nog grotere afstanden dan een vlucht van New York naar Tokio? Susan Gomez, manager van het internationale ruimtestationbegeleiding Navigatie en controle (GNC) -subsysteem voor NASA, onthult dat de meeste berekeningen die de NASA uitvoert met betrekking tot pi 15 of 16 cijfers gebruiken, vooral wanneer super nauwkeurige berekeningen nodig zijn voor de ruimte-geïntegreerde globale positionering System / Inertial Navigation System (SIGI) -het programma dat ruimtevaartuigen bestuurt en stabiliseert tijdens missies.
5Signaalverwerking en Fouriertransformatie
Hoewel Pi het best bekend is voor het maken van geometrische metingen, zoals het berekenen van het gebied van een cirkel, speelt het ook een prominente rol bij de signaalverwerking, voornamelijk via een bewerking die bekend staat als de Fourier-transformatie, die een signaal omzet naar een frequentiespectrum. De Fourier-transformatie wordt de "frequentiedomeinrepresentatie" van het originele signaal genoemd, in die zin dat deze verwijst naar zowel het frequentiedomein als de wiskundige bewerking die het frequentiedomein koppelt aan een functie van de tijd.
Zowel mensen als technologie profiteren van dit fenomeen wanneer een signaal een basisconversie nodig heeft, bijvoorbeeld wanneer uw iPhone een bericht ontvangt van een zendmast, of wanneer uw oor een onderscheid maakt tussen geluiden met een verschillende toonhoogte. Pi, dat prominent voorkomt in de Fourier-transformatieformule, speelt een fundamentele maar enigszins mysterieuze rol in het conversieproces, omdat het ligt in de exponent van Euler's Number (de beroemde wiskundige constante gelijk aan 2.71828 ...)
Dit betekent dat elke keer dat u op uw mobiele telefoon belt of naar een uitzendsignaal luistert, u pi gedeeltelijk kunt bedanken.
4 Normale kansverdeling
Hoewel pi enigszins verwacht wordt gevonden te worden in bewerkingen zoals de Fourier-transformatie, die primair met signalen (en vervolgens golven) te maken hebben, kan het verrassend zijn om pi een hoofdrol te laten spelen in de formule voor normale kansverdeling. Je komt deze beruchte verspreiding ongetwijfeld tegen - het is betrokken bij een breed scala aan verschijnselen die we regelmatig zien verschijnen, van dobbelstenen tot testresultaten.
Wanneer je pi in een complexe vergelijking ziet, denk dan dat ergens in de wiskundige structuur een cirkel verborgen is. In het geval van een normale kansverdeling wordt pi geleverd door de Gausse integrale (ook bekend als de Euler-Poisson-integraal), die de vierkantswortel van pi bevat. In feite is alles wat nodig is kleine variaties in variabelen in de Gaussiaanse integraal om de normaliseringsconstante van de normale verdeling te berekenen.
Een veel voorkomende maar tegenintuïtieve toepassing van de Gausse integraliteit betreft "witte ruis", een normaal verdeelde willekeurige variabele die wordt gebruikt om alles te voorspellen, van windstoten op een vlak tot bundeltrillingen tijdens grootschalige constructie.
3 Meanderende rivieren
Pi heeft een fascinerende en onverwachte relatie met meanderende rivieren. Het pad van een rivier wordt meestal beschreven door zijn sinuositeit - de neiging om van de ene naar de andere kant te wuiven als het een vlakte doorkruist. Dit kan wiskundig worden beschreven als de lengte van zijn kronkelende pad gedeeld door de lengte van de rivier van de bron tot de monding. Het blijkt dat ongeacht de lengte van de rivier, of het aantal wendingen langs de weg, de gemiddelde rivier een sinuositeit van ongeveer pi heeft.
Albert Einstein heeft verschillende opmerkingen gemaakt over waarom rivieren zich zo gedragen. Hij merkte dat water sneller stroomt langs de buitenkant van een rivierbocht, wat leidt tot snellere erosie rond de oever, wat op zijn beurt een grotere bocht creëert. Deze grotere bochten ontmoeten elkaar, waardoor de rivier een "snelkoppeling" vormt. Deze heen-en-weer beweging lijkt zichzelf constant te corrigeren als de sinuositeit van de rivier teruggaat naar pi.
2Pi en de Fibonacci-reeks
In het grootste deel van de geschiedenis waren er slechts twee methoden om pi te berekenen, een die werd uitgevonden door Archimedes, en de andere door de Schotse wiskundige James Gregory.
Het blijkt echter dat pi ook kan worden berekend met behulp van de Fibonacci-sequentie. Elk volgend nummer in de Fibonacci-reeks is de som van de vorige twee getallen. De reeks begint met 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 en gaat oneindig door. En aangezien de arctangent van 1 pi / 4 is, betekent dit dat pi kan worden uitgedrukt in termen van Fibonacci-getallen, door de vergelijking te herrangschikken als arctan (1) * 4 = pi.
Naast een intrinsiek fascinerende en mooie nummerset, speelt de Fibonacci-reeks een belangrijke rol in een verscheidenheid aan natuurlijke gebeurtenissen in de kosmos. Het kan een verbazingwekkende verscheidenheid aan verschijnselen modelleren of beschrijven, in wiskunde en wetenschappen, kunst en natuur. De wiskundige ideeën waar de Fibonacci-reeks toe leidt - zoals de gulden snede, spiralen en rondingen - worden al lang gewaardeerd om hun schoonheid, maar wiskundigen worstelen nog steeds om de diepte van de verbinding te verklaren.
1Quantum Mechanics
Pi is ongetwijfeld een onvermijdelijk en complex hoofdbestanddeel van onze wereld, maar hoe zit het met het universum in het algemeen? Pi manifesteert zich in het universum en is inderdaad betrokken bij de vergelijkingen die de aard van de kosmos proberen te verklaren. In feite gebruiken veel formules die worden gebruikt in het rijk van de kwantummechanica, die de microscopische wereld van atomen en kernen beheert, pi.
Misschien wel de meest bekende van dergelijke vergelijkingen zijn de Einstein-veldvergelijkingen (ook eenvoudigweg bekend als Einsteins vergelijkingen) - een set van 10 vergelijkingen in de algemene relativiteitstheorie van Einstein die de fundamentele interactie van gravitatie beschrijven als een gevolg van ruimte-tijd die wordt gekromd door massa en energie. De hoeveelheid zwaartekracht aanwezig in een systeem is evenredig met de hoeveelheid energie en momentum, met de constante van proportionaliteit gerelateerd aan G, een numerieke constante.