10 feiten uit de bizarre wereld van oneindige wiskunde

Aan het einde van de 19e eeuw ontdekte de Duitse wiskundige Georg Cantor 'transfiniete' wiskunde of wiskunde voorbij het oneindige. Met dit vroege werk maakten we kennis met een wereld waar er nummers zijn die groter zijn dan oneindig en vergelijkingen die de logica van gezond verstand niet volgen. Het volstaat om te zeggen dat het waarschijnlijk niet het spul is dat je op de middelbare school hebt geleerd.

Het werk van Cantor was aanvankelijk controversieel en werd vitriolisch aangevallen door enkele van de belangrijkste wiskundige figuren van zijn tijd. Het werd echter geleidelijk geaccepteerd als canon en het hielp de weg vrijmaken voor de verzamelingenleer, die op zichzelf een potentiële onderbouwing is voor de hele wiskunde.

10 Infinity Plus One (of twee of oneindig) is gelijk aan Infinity

Het blijkt dat dit adjectief uit de kindertijd er iets aan heeft. Gezien de aard van het oneindige, is elk getal opgeteld bij, afgetrokken van, vermenigvuldigd met, of gedeeld door het gelijk aan oneindig. Dit wordt gezien in een klassieke oneindigheidspuzzel die bekend staat als Hilbert's hotelparadox:

Er is een hotel met een oneindig aantal kamers. Een vermoeide reiziger arriveert en vraagt ​​om een ​​kamer, maar wordt geïnformeerd dat alle kamers bezet zijn. Hoe kan het hotel geen kamers meer hebben, omdat het oneindige kamers heeft? Wat moet de reiziger doen?

Het antwoord is dat de reiziger zou moeten vragen dat de persoon in kamer één naar kamer twee zou verhuizen, de persoon in kamer twee zou naar kamer drie moeten gaan, enzovoort ... en zij neemt kamer één. Infinity is oneindig elastisch en kan op elke manier worden uitgebreid of verkleind om te passen wat het nodig heeft, of het nu een reiziger of een googolplex is (ja, dat is een echt aantal) reizigers.

9 Er zijn even veel oneven getallen (en zoveel nummers die eindigen in 123 of 423) als er getallen zijn

Infinity is zo kneedbaar omdat, zoals Hilbert's hotel, elke reeks van oneindige getallen in een one-to-one correspondentie met een oneindig deel van die serie kan worden geplaatst. In termen van de leek betekent dit dat als je alle positieve gehele getallen (0, 1, 2, 3, 4 ...) en alle positieve even getallen (0, 2, 4, 6, 8 ...) neemt, elk van de hele getallen kan worden gekoppeld met een even getal. Dus nul kan worden vergeleken met nul, een kan worden vergeleken met twee, twee kunnen worden vergeleken met vier, enzovoort.

Aangezien de twee reeksen (of "sets") van nummers overeenkomen voor elk nummer, kunnen we stellen dat ze dezelfde grootte hebben. Riep de Galileo-paradox na zijn beroemde ontdekker, dit gedachte-experiment laat zien dat de grootte van het oneindige niet kan worden veranderd met behulp van de ruwe gereedschappen van elementaire rekenkundige achtige indeling of de toevoeging van eindige getallen. Daarvoor heb je iets geavanceerder nodig.

8 Sommige oneindigheden zijn groter dan andere

De keerzijde van de één-op-één correspondentie is dat als er een oneindige reeks getallen is die nog steeds overgebleven nummers heeft nadat ze zijn gematcht met een andere oneindige reeks, dan kunnen we zeggen dat de vorige reeks van oneindigheden eigenlijk groter is dan de oneindigheid waarmee het gepaard was. Dit lijkt misschien onmogelijk, maar je kunt waarschijnlijk intuïtief een geval begrijpen waarin dit waar is: het oneindige aantal hele getallen (0, 1, 2, 3 ...) is kleiner dan het oneindige aantal irrationele getallen. Als je je herinnert van wiskunde op de middelbare school, zijn irrationele getallen nummers zoals pi die een reeks decimalen hebben die eeuwig duren (3.1415 ...). Cantor toonde aan dat het oneindige aantal irrationele getallen groter is dan het oneindige aantal hele getallen met behulp van een ingenieuze maar eenvoudige (relatief aan meest baanbrekende wiskundige bewijzen) truc.

Hij begon met aan te nemen dat irrationele getallen konden worden vergeleken met hele getallen en een reeks getallen opschrijven tussen nul en één. (Oké, dit zijn mijn eigen willekeurige nummers van het toetsenbord kloppen, maar je begrijpt het wel.) Er is een oneindig aantal van deze rijen:

0.1435 ... gekoppeld aan 0
0.7683 ... gekoppeld aan 1
0.1982 ... gekoppeld aan 2
0.9837 ... gekoppeld aan 3

Enzovoorts. U kunt vervolgens een nummer uit deze serie maken door het eerste cijfer in de eerste regel te nemen, het tweede cijfer in de tweede regel enzovoort; voor de bovenstaande nummers zou dit 0.1687 zijn ...

Nu, er is misschien een aantal van 0.1687 ... ergens in deze stapel getallen. Als u echter een aan elk van de cijfers toevoegt, wordt het getal 0,2798 ... en dit nummer mag niet in de stapel staan, omdat het per definitie van ten minste één cijfer verschilt van een van de getallen in de stapel. Daarom zijn er nog steeds irrationele nummers over na het proberen om ze te matchen met normale hele getallen. Daarom kunnen we zeggen dat het oneindige aantal irrationele getallen groter is dan het oneindige aantal hele getallen.

Als je denkt dat dat gek is, hou je hoed vast ...

7 Er zijn oneindig veel niveaus van oneindigheden

Cantor toonde ook aan dat, net zoals het aantal oneindige hele getallen zich op een heel ander niveau van oneindigheid bevindt dan het aantal irrationele getallen, er ook een soort oneindigheid is die groter is dan het aantal irrationele getallen, een niveau van oneindigheid hierboven dat, nog eentje daarboven, enzovoort, omhoog (je raadt het al) oneindig. Bovendien telt elk oneindigheidsniveau toegevoegd aan een hoger niveau van oneindigheid automatisch naar het hogere niveau van oneindigheid op dezelfde manier waarop oneindig plus één oneindig is.

De Reader's Digest versie van waarom dit het geval is, is dat je een oneindige reeks getallen (bijvoorbeeld 0, 1, 2, 3 ...) kunt nemen en dan een grotere oneindige reeks kunt maken door het aantal van alle verschillende mogelijke combinaties van de nummers in de originele serie. In wiskunde wordt dit een vermogensset genoemd.Dus voor de hele getallen zou het vermogen niet alleen 1, 2, 3 ... bevatten, maar ook elke combinatie van getallen in die oneindige reeks getallen, waaronder 1 miljard en 1, 2, 13, 2 miljoen ... enz. Als je eenmaal hebt heb je je eerste power-set gemaakt, er is geen reden waarom je geen power set van de power set kunt maken, of een power set van een power set van een power set van een power set ...

6 Dit heeft uiteindelijk Georg Cantor Insan gedreven

Je kunt je voorstellen dat als je dit alles te veel doet, je een idee krijgt van je realiteitszin, en dat is precies wat er met de ontdekker is gebeurd. Cantor geloofde dat het "volgende" niveau van oneindigheid na de hele getallen het aantal irrationele getallen was; het enige probleem was dat hij het niet kon bewijzen.

Dit beroemde wiskundige probleem, aangeduid als de continuumhypothese (hij begon uiteindelijk gewoon te zeggen dat God hem onthulde dat de continuum-hypothese waar was), gecombineerd met de kwaadaardige aanvallen op zijn werk, leidde uiteindelijk tot een psychologische ineenstorting, en hij bracht de rest van zijn dagen in en uit ziekenhuizen terwijl hij probeerde te bewijzen dat Francis Bacon de toneelstukken van Shakespeare schreef.

5 Het probleem dat Cantor Insane dreef, is onoplosbaar

Sommige mensen hebben geprobeerd een rigoureuze basis voor wiskunde te bieden door een reeks axioma's of beweringen te gebruiken die zogenaamd zo belangrijk zijn dat ze te vertrouwen zijn zonder voorafgaande uitleg. (Bijvoorbeeld: niemand kan er twee van zijn. Waarom? Omdat!)

In de jaren zestig bewees wiskundige Paul Cohen dat de continuümhypothese onoplosbaar is als we aannemen dat de meest gebruikte axioma's waar zijn. Tot op de dag van vandaag wordt er nog steeds wiskundig werk gedaan onder de aanname dat de axioma's waar zijn en dat de continuumhypothese vals is, evenals de omgekeerde aanname dat de conventionele axioma's waar zijn, evenals de continuümhypothese. Wiskundigen beschouwen de verschillende veronderstellingen over de continuümhypothese als behorend tot verschillende 'wiskundige universums', omdat we niet kunnen bewijzen dat de ene of de andere waar is.

4 Het symbool voor oneindigheid dat Cantor kiest is een Hebreeuwse letter

Net als astronomen en biologen krijgen wiskundigen die een nieuw concept of belangrijke waarde ontdekken, op zijn minst wat input in wat de naam ervan zal zijn. Gezien dat soort kracht zou je denken dat er vandaag meer Klingon-personages zijn in wiskunde op hoog niveau, maar nee. Net zo creatief als wiskundigen, willen bijna geen van hen afwijken van de zeer conventionele Griekse symbolen, daarom kunnen verschillende Griekse letters zoveel verschillende dingen betekenen, afhankelijk van welke tak van wiskunde je gebruikt - we hebben gewoon zoveel meer wiskundige constanten en concepten dan Griekse letters.

Terwijl zijn religieuze achtergrond nog steeds wordt besproken door historici, zag Cantor wat hij deed als een manier om het goddelijke te benaderen door wiskunde, dus besloot hij dat de verschillende niveaus van oneindigheid zouden worden gesymboliseerd door de eerste letter in het Hebreeuwse alfabet: aleph. De verzameling van alle hele getallen zou alef-nul zijn, of alef met een nul-subscript. De oneindigste oneindigheid zou aleph-one zijn, wat, zoals we hebben gezegd, al dan niet het aantal irrationele getallen kan zijn.

3 Er is een niveau van oneindigheid waarin Infinity Plus One niet gelijk is aan One Plus Infinity

Naast de aleph-nummers kwam Cantor ook met omega-nummers. Het eerste omega-nummer wordt gedefinieerd als het kleinste getal dat groter is dan het aantal hele getallen of het eerste getal na aleph-noneught. Om opnieuw op het hotelvoorbeeld van Hilbert te tekenen, als het aantal kamers alefniet is, is het eerste omega-nummer een hut buiten het hotel. Het volgende omega-nummer daarna is gewoon omega plus één. Wat dit betekent, is echter dat één plus omega anders is dan omega plus één, omdat de ene in de eerste eenvoudig zou worden opgenomen door omega (omdat oneindigheid kneedbaar is), terwijl de ene na omega de volgende stap vertegenwoordigt.

Helaas, het begrijpen van meer technisch bewijs hiervan overstijgt de capaciteiten van het intellect van je nederige auteur, maar ik lees het in een boek, dus het moet waar zijn.

2 Infinity Minus Infinity komt niet overeen met nul

Infinity minus oneindig is niet gedefinieerd op dezelfde manier dat delen door nul ongedefinieerd is.

Om een ​​voorbeeld te geven waarom dit is, omdat oneindig plus één oneindig is ([oneindig + 1] = [oneindig]), als we oneindigheid van beide kanten aftrekken, blijven we achter met 1 = 0. Op dezelfde manier, en voor veel van de dezelfde redenen, oneindig gedeeld door oneindigheid is niet één, maar is ook ongedefinieerd.

1 Dit heeft feitelijk reële wetenschappelijke toepassingen

Net als veel andere gebieden in de wiskunde, is wat is begonnen als een puur theoretisch gedachte-experiment gebleken dat het implicaties heeft voor de harde wetenschappen. Sommige quantummechanica-vergelijkingen sommen bijvoorbeeld op tot oneindig; in de praktijk passen natuurkundigen de vergelijking aan om berekeningen uitvoerbaar te maken, maar het is niet duidelijk of dit gerechtvaardigd is, gegeven wat we weten over transfiniete wiskunde.

In de kosmologie, of het universum nu oneindig groot is, de ruimte oneindig deelbaar is, zal het universum voor altijd uitdijen, of zijn er oneindige universums, allemaal open vragen die putten uit oneindige logica. Sommige onderzoekers hebben zelfs toepassingen gevonden van Hilbert's hotelparadox in zowel kwantum- als klassieke optica.