10 leuke voorbeelden van de theorie van het recreatief aantal

Wiskundigen classificeren en ordenen nummers op allerlei manieren. Natuurlijke getallen worden gebruikt voor het tellen en bestellen; nominale nummers worden gebruikt voor naamgeving (zoals een rijbewijsnummer); gehele getallen zijn getallen die kunnen worden uitgedrukt zonder een breuk of decimaal; priemgetallen kunnen alleen gedeeld worden door 1 en alleen; enzovoorts. Maar er is geen limiet aan hoe we cijfers kunnen begrijpen en gebruiken; daarom is er een tak van zuivere wiskunde, voornamelijk gebaseerd op de studie van gehele getallen, genaamd "getaltheorie." Hoewel we nu begrijpen dat getaltheorie grenzeloze toepassingen, toepassingen en doeleinden heeft, kan het frivool lijken tot op het punt van zinloosheid - met name de subset bekend als "recreatieve getaltheorie." Getaltheoreticus Leonard Dickson heeft eens gezegd: "Goddank dat de getaltheorie onvervalst is door welke toepassing dan ook."

Maar dat betekent niet dat het geen mate van nerdy-plezier biedt voor degenen die zo geneigd zijn. Lees verder om te leren wat een getal "interessant", "raar", "blij", "narcistisch", "perfect" en meer maakt!

10

Minnelijke nummers

Aha, minnelijke cijfers. Ze houden zoveel van elkaar. Hoe veel? Wel, laten we een klassiek paar nemen-284 en 220 - en zien hoe vriendelijk ze zijn. Laten we alle de juiste delers van 220 nemen (dat wil zeggen, alle delers die geen resten achterlaten, inclusief het getal 1, en het getal zelf uitsluiten) en allemaal op:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Laten we nu 284 nemen en hetzelfde doen:

1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.

Voila: een paar minnelijke nummers. Andere paren omvatten (1184, 1210), (2620, 2924) en (5020, 5564). Dit type nummerpaar is ontdekt en bestudeerd door de Pythagoreeërs, en is het voorwerp geweest van veel onderzoek door de eeuwen heen - Fermat, Descartes, Iraanse Muhammad Baqir Yazdi en Iraakse Th? Bit ibn Qurra behoren tot de vele wiskundigen die zich hebben verdiept in de wereld van minnelijke cijfers. Onderwerpen van verder onderzoek omvatten pogingen om te ontdekken of er een oneindig aantal paren is, om patronen te onderscheiden, en om beter te begrijpen waarom en hoe dit gebeurt.

Omdat wiskundigen nooit genoegen zouden nemen met alleen minnelijke getallen, zijn 'verloofd getallen' paren waarvan de som van de juiste delers van elk getal gelijk is aan het andere getal +1.

9

Emirp

"Emirp" is het woord "prime" dat naar achteren is gespeld en verwijst naar een priemgetal dat een nieuw priemgetal wordt wanneer u de cijfers omkeert. Emirps bevatten geen palindrome primes (zoals 151 of 787), noch 1-cijferige prime-lenzen zoals 7. De eerste paar emirps zijn 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149 en 157 - keer ze om en je hebt een nieuw priemgetal in handen.

Meestal is het een goed humeur om steeds weer "emirp" te zeggen. Probeer het eens!

8

Interessante cijfers

Er is een oude paradox in de wereld van de wiskunde die bekend staat als de "interessante nummerparadox." Simpel gezegd, als je natuurlijke getallen blijft tellen, kom je er uiteindelijk een tegen die niet interessant is; waar het paradoxaal wordt is dat vanwege het feit dat dit het kleinste oninteressante getal is, dat aantal nu interessant is geworden.

Natuurlijk is dit allemaal subjectief, omdat het berust op een vage definitie van het woord 'interessant'. Over het algemeen gesproken wordt een getal als interessant beschouwd als het een soort van wiskundige kwaliteit heeft dat het onderscheidt; 19 is interessant omdat het priem is, 999 is interessant omdat het een palindroom is (en de Engelse versie van 911); 24 is interessant omdat het (onder andere) het grootste aantal deelbaar is door alle getallen minder dan de vierkantswortel. wiskundigen

7

Krachtige nummers

Achilles was een krachtige Trojaanse oorlogsheld die buitengewoon krachtig was maar één fout had: zijn achilleshiel. Net als hij zijn de Achilles-aantallen krachtig maar niet perfect.

Laten we beginnen met een krachtig nummer. Een getal wordt als krachtig beschouwd als al zijn priemfactoren factoren blijven nadat ze in het kwadraat zijn aangebracht. 25 is een krachtig getal omdat de ene primaire factor, 5, een factor is als het eenmaal vierkant is (25, wat een keer in 25 gaat). Laten we nu overgaan naar volmaakte krachten, een getal dat kan worden uitgedrukt als een geheel getal van een ander geheel getal; 8 is een perfecte kracht, want het is 2 blokjes.

Dus nu, terug naar het oorspronkelijke uitgangspunt - Achilles-getallen zijn krachtig, maar het zijn geen volmaakte krachten. 72 is het eerste Achilles-getal, omdat het krachtig is, maar het is geen perfecte prime. Andere bevatten 108, 200, 288, 392, 432, 500 en 648.

6

Rare cijfers

Wat zijn rare nummers? Om ze te begrijpen, moeten we eerst beginnen met 'overvloedige' cijfers. Overvloedige aantallen, ook wel 'excessief' genoemd, zijn groter dan de som van hun eigen delers. 12, bijvoorbeeld, is het eerste (kleinste) overvloedige getal - de som van de juiste delers, 1 + 2 + 3 + 4 + 6, is 16. 12 heeft daarom een ​​"abundantie" van 4, de hoeveelheid waarmee de som van zijn delers overschrijdt het aantal. Er zijn veel, zelfs in overvloedige aantallen, maar we komen niet tot een vreemde tot het nummer 945.

Sommige overvloedige nummers zijn 'semiperfect' of 'pseudoperfect', wat betekent dat ze gelijk zijn aan alle of slechts enkele van hun eigen delers. 12 is een onvolmaakt overvloedig getal omdat sommige van zijn delers kunnen worden opgeteld om 12 te vormen.

Eindelijk komen we op vreemde cijfers. Een aantal is raar als het overvloedig is maar NIET semiperfect; met andere woorden, de som van zijn delers is groter dan het getal zelf, maar geen subset van de delersommen is gelijk aan het aantal. Vreemde nummers zijn ongebruikelijk - de eerste paar zijn 70, 836, 4.030 en 5.830.

5

Onaantastbare nummers

Hoewel rare cijfers niet gelijk zijn aan de som van een van hun delers, gaan onaantastbare getallen nog een stap verder. Een getal dat onaantastbaar is, mag niet gelijk zijn aan de som van de juiste delers van ELK getal. Een paar onaanraakbaren zijn 2, 5, 52 en 88; in feite wordt 5 beschouwd als het enige onaanraakbare nummer dat er bestaat (hoewel het nog niet formeel is bewezen). Er is een oneindig aantal onaantastbare getallen, wat betekent dat er niet zoiets bestaat als de grootste.

4

Perfecte cijfers

Dus na het bespreken van het vreemde en het onaanraakbare, is het tijd om in te checken bij de grootvader van alle juiste aan de delers gerelateerde nummers: perfecte cijfers. Een perfect getal is er een dat exact gelijk is aan de som van zijn eigen delers (wederom exclusief). Het eerste perfecte getal is 6, omdat de delers (1, 2, 3) allemaal maximaal 6 zijn. Zes wordt gevolgd door 28, 496 en 8.128. Vroeg-Griekse wiskundigen kenden alleen deze eerste 4 perfecte getallen; Nichomatus ontdekte 8.128 tegen het jaar 100 na Christus. Drie werden ontdekt, de eerste circa 1456 (33.550.336) door een onbekende wiskundige en in 1588 (8.589.869.056 en 137.438.691.328) van de Italiaanse wiskundige Pietro Cataldi in 1588.

Alle bekende perfecte cijfers zijn zelfs; het is nog niet bekend of een oneven prime bestaat of zelfs mogelijk is. De Engelse wiskundige James Joseph Sylvester schreef: "... een langdurige meditatie over het onderwerp heeft mij gerustgesteld dat het bestaan ​​van een dergelijk [oneven perfect getal] -ze ontsnappen, om zo te zeggen, aan het complexe web van toestanden waarin het zich aan alle kanten bevindt - het zou een wonder zijn. "

3

Happy Numbers

Sommige nummers zijn raar; anderen zijn blij. Als u wilt weten of een bepaald getal gelukkig is, moet u de volgende reeks bewerkingen uitvoeren. Laten we het nummer 44 nemen:

Plaats eerst elk cijfer vierkant en voeg ze vervolgens samen toe:

4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32

Dan doen we het opnieuw met ons nieuwe nummer:

3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13

En opnieuw:

1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10

En tenslotte:

1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1

Voila! Het is een gelukkig aantal. Telkens wanneer u een nummer neemt, deze "procedure" uitvoert en uiteindelijk op nummer 1 komt, hebt u een gelukkig nummer. Als uw nummer nooit 1 bereikt, dan is het helaas ongelukkig. Interessant is dat gelukkig aantal extreem vaak voorkomt; er zijn 11 van hen tussen 1 en 50, bijvoorbeeld.

Als laatste opmerking is het grootste gelukkige getal zonder terugkerende cijfers 986.543.210. Dat is inderdaad een gelukkig getal.

2

Narcistische nummers

Narcissistische getallen, ook bekend als Armstrong-nummers of 'geperfecteerde digitale invarianten', zijn getallen die - luister aandachtig - gelijk zijn aan de som van elk van de cijfers wanneer die cijfers worden verhoogd tot het aantal cijfers in het getal.

OK. Wat? Laten we een voorbeeld nemen van de vier bestaande narcistische kubussen:

153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3

In deze gevallen is elk cijfer in blokjes verdeeld omdat er drie cijfers in het nummer staan. Vervolgens worden die gekubde nummers bij elkaar opgeteld om een ​​som te produceren die gelijk is aan het oorspronkelijke aantal. Er zijn geen 1-cijferige narcistische nummers, noch 12- of 13-cijferige nummers; de twee 39-cijferige zijn:

115132219018763992565095597973971522400 en 115132219018763992565095597973971522401.

Engelse wiskundige GH Hardy erkende de frivoliteit van zulke aantallen door in zijn boek "The Mathematician's Apology" te verklaren dat "dit vreemde feiten zijn, zeer geschikt voor puzzelkolommen en waarschijnlijk amateurs amuseren, maar er is niets in wat de wiskundige aanspreekt. ”

1

Repdigits en repunits

Een herhaling is een natuurlijk getal met één herhalend cijfer; de naam komt in feite van de term "herhaald cijfer". Het meest bekende overblijfsel is het zogenaamde "beestnummer" 666, een gebruikelijk symbool van de antichrist of van Satan. Een repunit is dan een herhalingsteken die alleen nummer 1 gebruikt; repunits verschijnen vaak in binaire code en zijn gerelateerd aan die beroemdste van prime-lenzen, Mersenne Primes. Er is verondersteld dat er een oneindig aantal repunitpriemgetallen zijn, dus als je het wilt proberen te bewijzen, doe dit dan alsjeblieft op je gemak.